Gürkan ve Kalemi

Tamamen Kişisel

Bazı Limitler ve İntegral Hesap


Bazı özel limitleri integral yardımıyla hesaplayabiliriz. Bunu yapmak için aşağıdaki teoremi kullanırız:

Teorem: Eğer $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ sürekli bir fonksiyon ise

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{b-a}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} f(a+k \dfrac{b-a}{n})=\int \limits_{a}^{b} f(x) dx$

dir. Hemen bu teoremin ispatına geçelim.

İspat: [a,b] aralığını n eşit parçaya bölelim. Her bir alt aralığın uzunluğu

$\Delta x_k=\dfrac{b-a}{n}$

dir. $\xi_k=a+k\dfrac{b-a}{n}$ alınırsa

$\lim \limits_{\vert\vert P \vert\vert} \sum \limits_{k=1}^{n} f(\xi_k) \Delta x_k=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{b-a}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} f(a+k \dfrac{b-a}{n})$

olur. Sol taraf f'nin [a,b] kapalı aralığındaki integrali olduğuna göre,

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{b-a}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} f(a+k \dfrac{b-a}{n})=\int \limits_{a}^{b} f(x) dx$

yazılır. Burada özel olarak a=0 ve b=1 alınırsa,

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} f(\dfrac{k}{n})=\int \limits_{0}^{1} f(x) dx$

bulunur. Hemen bir örnekle teoremi nasıl kullanacağımızı öğrenelim:

Örnek: $\lambda \neq 1$ olmak üzere,

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1+2^{\lambda}+3^{\lambda}+ \cdots +n^{\lambda}}{n^{\lambda+1}}=\dfrac{1}{\lambda+1}$

olduğunu gösterelim.

Çözüm: Hemen yukarıdaki teoremi hatırlayacağız.

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1+2^{\lambda}+3^{\lambda}+ \cdots +n^{\lambda}}{n^{\lambda+1}}= \\ \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} [ (\dfrac{1}{n})^{\lambda} + (\dfrac{2}{n})^{\lambda} + \cdots + (\dfrac{n}{n})^{\lambda} ]= \\ \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} (\dfrac{k}{n})^{\lambda}=\int \limits_{0}^{1} x^{\lambda} dx= \dfrac{1}{\lambda+1}$

Örnek: Aşağıdaki limiti hesaplayalım:

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} (e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+e^{\frac{n-1}{n}}+e^{\frac{n}{n}})$

Çözüm: Yine yukarıdaki teoremi kullanıyoruz:

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} (e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+e^{\frac{n-1}{n}}+e^{\frac{n}{n}})=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} (\dfrac{k}{n})=\int \limits_{0}^{1} e^x dx=e-1$