Matematiksel İspat 1 | Gürkan ve Kalemi

Gürkan ve Kalemi

Tamamen Kişisel


Matematiksel İspat 1

11 Temmuz 2017 @ Matematik


Matematikçiler için gerçekleri keşfetmek ve onları anlatmak birer hedeftir. Matematik, matematikçilerin dilidir. Matematiksel ispat ise matematik gerçeklerin ikna edici olmalarını sağlayan, bir başka kişinin de o gerçekleri öğrenmesine vesile olan, matematikçilerin kullandığı matematik diline ait bir sunuş yöntemidir.

Matematik dilinin dikkate değer bir özelliği, onun hassas olmasıdır. Bu yüzden matematik dilinin yöntemi olan ispat, düzgün sunulabilir yani, hiçbir şekilde belirsizlik içermez olmalıdır. Doğruluğunda asla şüphe uyandıracak rahatsız edici bir yön bulunmamalıdır. İşte matematik dilinin sunuş yöntemi olan ispatın temel dil bilgisini, çok iyi kavramak ve anlamak gerekir ki matematiğin ortaya koyduğu gerçekler anlaşılabilsin.

İspat Nedir?

Matematik dilinde bir ifadenin inandırıcı, ikna edici olması için matematik diliyle doğru şekilde ifade edilmesi zorunludur. Bu, matematik dilini başkalarına aktarmada kullanılacak sözcüklerin tümünün ne denli önem arz ettiğini anlatması açısından önemlidir. Örneğin matematikte bir ifadenin doğru veya yanlış bir cümle olarak ifade edilişine bakalım ve bu bağlamda birkaç örneği inceleyelim:

  1. Farklı ve doğrusal üç noktadan yalnız birisi, öteki ikisinin arasındadır.
  2. 1 = 0’dır.
  3. x gerçek sayı olmak üzere x > 0’dır (x, 0’dan büyüktür).
  4. cos(t)=t olduğu bir t değeri vardır.

Gözlemlersek bu ifadelerden (1)’in doğru, (2)’nin yanlış ve (3)’ün, verilen x değişkeninin değerine bağlı olarak doğru veya yanlış olduğunu hemen söyleyebiliriz. Belki (4)’te doğrudur ama bunun doğruluğu veya yanlışlığı şu aşamada net değildir. Aslında, doğru gibi görünen bir deyim; ama bunu henüz bilmiyoruz.

Açıkçası gerçekten doğru ifadeler, delilleriyle birlikte genel hatlarıyla ders kitaplarında veya makalelerde verilir. Bunun bir nedeni, sonunda daha zor ifadeleri ispatlamak, böylece takip edilmesi kolay örnekler sağlamaktır.

Bir ispatın hitap ettiği kişi (ya da kişiler) için inandırıcı olması, o ispatın yeterli matematiksel ayrıntıları içermesiyle mümkündür. Örneğin yukarıdaki (4) numaralı ifade için aşağıdaki grafik verilsin.

cost=t grafiği

Yanda verdiğim grafik, bir matematik profesörü için, $\cos (t)=t$ olacak bir t değerinin varlığı konusunda ikna edici sayılabilir. Oysa bir lise öğrencisi, doğru ve detaylandırılmış bir ispatı görmelidir ve hatta belki işe kosinüsün tanımını öğrenmekle başlamalıdır.

Kısaca, ispatınızda kullanacağınız deliller, kendi matematiksel düzeyinizde olsun olmasın (mesela bir amatör matematikçiyi veya bir öğrenciyi de) ikna etmek için yeterli ayrıntı içermelidir.

Genellikle bir ispatı okumayı ve anlamayı zorlaştıran şey, ispat için gereken tüm ayrıntıların eksikliğidir. İşte bu yazı dizide amacım, matematiksel ispat için bazı temel bulguları paylaşmaktır.


Yorum yapın...