Gürkan ve Kalemi

Tamamen Kişisel


Pisagorcular ve Kök 2

Gürkan Özsoy @ 2017-Ekim-03 14:07:00


Temel görüşlerini başlıktan anladığınız üzere, Pisagor (Pythagoras)’dan alan; bilim, din, felsefe ve sanata ilişkin Antik Çağ öğretisinin adıdır Pisagorculuk.

Bu öğretinin temelinde aritmatiğe dayalı bir metafizik bulunmaktadır. Pisagorcular, sayılara çok büyük önem vermiş hatta onları kutsallaştırmışlardır. Metafizik sorulara “sayı” kavramından yola çıkarak cevaplar veren bu öğretiye göre düzeni sağlayan şeylerin özü sayılardır. Tüm sayılar ise tek bir sayının kaynağıdırlar: Bir. Burada duruyorum ve bu görüşün “bir”e dayalı felsefi kısmına girmeden esas konuya geliyorum.

pisagorcular

Bildiğiniz üzere, iki tam sayının oranı şeklinde yazılan reel sayılara rasyonel sayı diyoruz. 1/2, 2/3, 6 birer rasyonel sayı örneğidir. Bu, Pisagorcuları, doğayı tam sayılara ve tam sayıların oranına, yani rasyonel sayılara indirgeyebilecekleri sonucuna götürüyordu.

Pisagorcular, $x^2=2$ denklemini1 sağlayan bir rasyonel sayının olmayışını keşfetmeleriyle çok sarsıldılar. Zira bu denklemin kökü sayılan sayı, rasyonel sayı değildi. Pisagorcu öğreti bu şekilde sarsılırken, bizler, G.H.Hardy’nin ifadesiyle, bütün matematikçiler tarafından birinci sınıf kabul edilen oldukça güzel bir teoreme2 ve ispatına kavuşmuş oluyorduk. O halde teoremimize ve ispatına bakalım:

Teorem: $\sqrt{2}$ irrasyoneldir.

Bu teoremin ispatı oldukça meşhurdur ve biz o ispatı vereceğiz:

İspat: Varsayalım ki $\sqrt{2}$ irrasyonel olmasın, yani rasyonel olsun. O zaman bu sayıyı p ve q gibi iki tam sayının oranı olarak, yani $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$ olarak yazabiliriz. Burada p ve q’nun ortak çarpanı yoktur3.

Buradan $\sqrt{2}q=p$ veya $2q^2=p^2$ elde edilir. Öyleyse $p^2$ bir çift sayıdır4. Dolayısıyla p bir çift sayıdır5. O halde bir c tam sayısı için $p=2c$ dir. p’nin bu değerini $2q^2=p^2$ ifadesinde yerine yazalım: $2q^2=(2c)^2$ veya $q^2=2c^2$ olur. Öyleyse $q^2$ bir çift sayıdır ve yine dolayısıyla q bir çift sayıdır.

Buna göre p ve q tam sayıları çift sayıdır. Çift sayının tanımı gereği p ve q, 2 ile bölünebilirler. Bu ise, p ve q’nun ortak çarpanı olmadığı yolundaki baştaki varsayımımızın yanlış olduğunu gösterir. Öyleyse $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$ olarak yazılamamaktadır. Dolayısıyla $\sqrt{2}$ irrasyoneldir. $\square$

Notlar:


  1. Karesi 2 olan x sayısına “2’nin karekökü denir” ve $\sqrt{2}$ olarak gösterilir. 

  2. Yine Hardy’nin nitelendirmesiyle, birinci sınıf kabul edilen bir başka teorem Euclid’in M.Ö.300 yılında ortaya koyduğu sonsuz sayıda asal sayı olduğu yolundaki ispattır. 

  3. Başlangıçta tüm ortak çarpanlar sadeleşir ve sadece p/q kalır. 

  4. c bir tamsayı olmak üzere k=2c şeklindeki tam sayılara çift sayı diyoruz. 

  5. Bir tek sayının karesinin tek sayı olduğunu göstermek kolaydır.