Riemann Varsayımı | Gürkan ve Kalemi

Gürkan ve Kalemi

Tamamen Kişisel


Riemann Varsayımı

28 Ağustos 2017 @ Matematik


Matematikte çözülmemiş en meşhur problemlerden bir tanesi Riemann varsayımıdır. Bu varsayım, asal sayılarla bağlantılı olarak karmaşık analizde ortaya çıkan bir problemdir. Ancak matematiğin her alanında yansıması vardır.

Gauss yaklaşık 1793 yılında, x’ten küçük asal sayıların sayısının yaklaşık $\dfrac{x}{\log x}$ olduğunu buldu. Aslına bakılırsa logaritmik integral denilen daha doğru bir yaklaşım önerdi. Euler 1737’de sayı teorisi ile analiz arasında şaşırtıcı bir bağlantı olduğunu fark etti:

$1+2^{-s}+3^{-s}+4^{-s}+ \ldots$

serisi, asal sayılardan oluşan aşağıdaki serinin sonucuna eşitti:

$1+p^{-s}+p^{-2s}+p^{-3s}+ \ldots=\dfrac{1}{1-p^2}$

Burada, serinin yakınsaması için $s > 1$ alınmalıdır.

riemann

Sonradan $\zeta(z)$ zeta fonksiyonu denilen Euler serisiyle bağlantılı karmaşık bir fonksiyon kullanan Pafnuty Chebyshev, 1848’de Gauss kestirimini kanıtlamak için bazı gelişmeler kaydetti. Riemann, “On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude” başlıklı ve 1859 tarihli makalesinde bu fonksiyonun rolünü netleştirdi. Asal sayıların istatistiksel özelliklerini, zeta fonksiyonunun sıfırlarıyla, yani $\zeta(z)=0$ denkleminin çözümleriyle yakından ilişkili olduğunu gösterdi.

Jacques Hadamard ve Charles Jean de la Vallée-Poussin, 1896’da Asal Sayı teoremini kanıtlamak için zeta fonksiyonunu kullandı. Burada asıl aşama, $1+it$ formundaki bütün z’ler için $\zeta(z)$ fonksiyonunun sıfırdan farklı olduğunu göstermektir. Zeta fonksiyonunun sıfırlarının yeri üzerinde ne kadar çok kontrol sağlanırsa, asal sayılar hakkında o kadar çok bilgi elde ederiz. Riemann, bazı negatif çift tam sayılar hariç, bütün sıfırların $z=\dfrac{1}{2}it$ kritik çizgisinin üzerinde olduğunu tahmin etti.

Hardy, sonsuz sayıda sıfırın bu çizgi üzerinde olduğunu 1914’te kanıtladı. Kapsamlı bilgisayar kanıtı da bu varsayımı destekliyor. 2001 ve 2005 yılları arasında, Sebastian Wedeniwski‘nin zetaGrid programı, ilk 100 milyar sıfırın kritik çizgi üzerinde olduğunu doğruladı.

Riemann varsayımı, Hilbert’in çözülmemiş meşhur 23 matematik problemi listesinde 8.sırada yer almaktadır.

# Kaynak:

Stewart, Ian. Matematiğin Kısa Tarihi (Ekim 2016). Sevinç, Sibel (çev). İstanbul: Alfa Basım Yayım Dağıtım San.ve Tic. Ltd. Şti.


Yorum yapın...