Sekant Küpün İntegrali | Gürkan ve Kalemi

Gürkan ve Kalemi

Tamamen Kişisel


Sekant Küpün İntegrali

03 Ağustos 2016 @ Matematik


Burada, sekantın integralini hesaplamayı öğrendik. Şimdi, esas konumuza dönersek…

$\int \sec^{3}x dx$

İntegralini hesaplayalım.

Bu integrali hesaplamak için sekant fonksiyonunun kuvvetlerini parçalayalım:

$\int \sec^{3}x dx=\int \sec x \sec^{2}x dx$

Şimdi, kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. $u=\sec x$ ve $dv=\sec^{2}x dx$ diyelim. O zaman $v=\tan x$ ve $du=\tan x \sec x$ olur. Buradan devam edersek,

$
\begin{equation}
\begin{split}
\int \sec^{3}x dx & =\int \sec x \sec^{2}x dx \\
& = \tan x \sec x-\int \tan x \tan x \sec x dx \\
& = \tan x \sec x-\int \tan^{2}x \sec x dx \\
& = \tan x \sec x-\int (\sec^{2}x-1) \sec x dx \\
& = \tan x \sec x-\int \sec^{3}x dx+\int \sec x dx \\
\end{split}
\end{equation}$

bulunur. Buradaki son satırda, eşitliğin sağ tarafındaki sekant küp integralini sol tarafa atar ve yukarıda bulduğumuz sekant fonksiyonunun integral değerini yerine yazarsak,

$2\int \sec^{3}x dx =\tan x \sec x+\int \sec x dx = \dfrac{1}{2} \tan x \sec x + \dfrac{1}{2} \ln |\sec x + \tan x|+c$

bulunur. Böylece sekant küp fonksiyonunun integralini hesaplamış oluruz.