Gürkan ve Kalemi

Tamamen Kişisel

Bakarak İspat


yazı kapak resmi

L biçimindeki kareler

Birçok aritmetiksel gerçek, uygun bir şekle bakarak ispat edilebilir1. Örneğin ilk n tek sayının toplamı $n^2$'dir. Her L biçimli şekil, tek sayıda kare içermektedir.

$T_n$, n-inci üçgensel sayı2 olsun.

$8T_{n}+1=(2n+1)^2$

'dir. Her üçgen sayı bir merdivenle temsil edilir; çünkü n-inci üçgen sayı

$1+2+3+4+\ldots+n$

şeklindedir. Yanda yer alan ilk şekilden

$8T_{n}+1=(2n+1)^2$

olduğunu görebilirsiniz. Burada n=4 ve $T_4=10=1+2+3+4$'dür.

Üçgensel sayılar ve kareler

Yanda gördüğünüz ikinci şekilde iki tana $2 \times 2$ kare, üç tane $3 \times 3$ kare... ve böylece bir düzlem üzerinde tamsayıların küpleri toplamı şöyle formülize edilebilir:

$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+ \ldots=(1+2+3+4+5+\ldots +)^2$

Notlar:


  1. Bu yazı David Wells'in "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry" adlı eserinden çevirilmiştir. Çeviri Selçuk Alsan'a aittir.  

  2. Üçgensel sayılar 1,3,6,10,15,21,28,36,... şeklinde gider. Burada $1=0+1$, $3=1+2$, $6=1+2+3$, $10=1+2+3+4$...