Gürkan ve Kalemi

Tamamen Kişisel

Euler Çizgisi


yazı kapak resmi

Leonhard Euler tarafından 1765'te yayınlanan bu teorem bize şunu söyler:

Herhangi bir üçgende çevrel çemberin merkezi O, yüksekliklerin kesişme noktası H ve kenarortayların kesişme noktası G; aynı doğru üzerinde bulunur. Ayrıca $|GH|=2|OG|$'dir.

İspat: Bu teoremin birden fazla ispatı var. Ben 1 tanesine yüzeysel olarak değineceğim. Yani detayına girmeden, sadece nasıl ispatlanacağını anlatacağım. Bu ispatın en yaygın ispat olduğunu da belirteyim.

Söylememiz gereken şey;

$CH \Arrowvert M_{C}$

ve böylece $|CG|=2|GM_C|$ olduğu.

Eğer

$|CH|=2M_C$

olduğunu söyleyebilirsek $HGC$ ve $OGM_C$ benzerdir ve 2:1 oranı vardır deriz. Bundan ötürü benzer şekilde HO üzerindeki G noktasının HO'u 2:1 oranında böldüğü sonucuna ulaşırız.

Euler çizgisinin benzer üçgenlerle ispatı

Bu dediğimizi yapmanın bir yolu:

$OM_{A}M_{C}$

üçgeni ile $HAC$ üçgeninin benzer olduğunu göstermek. Bunu göstermek okuyucuya ödev olsun.

Teoremin bir başka ispatı Dominik Teiml'e ait. O da şu:

Euler çizgisinin çemberle ispatı

ABC üçgeninde

$O \, G_{1} \ ve \ H$

noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu gösterelim. Çevrel çember üzerinde yanda gördüğünüz gibi bir P noktası alalım. O çemberin merkezi olduğu için

$|OM_{C}|$

PHC üçgeninde orta taban olur. Bu durumda

$|PM_{C}|=|M_{C}H|$

olduğu da açıktır. Böylece

$G_{1}$

noktası PHC üçgeninin ağırlık merkezidir ve

$|CG_{1}|=2|G_{1}M_{C}|$

olur. Bu

$M_{C}$

noktası aynı zamanda |AB| uzunluğunun orta noktasıdır. Öyleyse

$G_{1}$

aynı zamanda ABC üçgeninin ağırlık merkezidir. Böylece teoremin ispatı tamamlanır. Burada

$|G_{1}|=2|OG_{1}|$

olduğuna ayrıca dikkat edelim.