Gürkan ve Kalemi

Tamamen Kişisel

Limitle Pi'nin Tanımı


yazı kapak resmi

Çok basit şekilde pi sayısını limitle tanımlamak mümkün.

Bir çemberin çevresi üzerinden pi sayısını tanımlayacağız. Neden çemberi kullanacağız? Çünkü pi sayısı bir çemberin çevresinin çapına oranı olarak tanımlanır.

O halde vakit kaybetmeden başlayalım. Öncelikle çemberin çevresinin (r yarıçap olmak üzere) $Ç=2\pi r$ ile verildiğini hatırlayalım. Burada Ç, çevre demek.

çember ve limit

Şimdi, bir çemberi n kenarlı bir çokgen oluşturacak şekilde, n tane parçaya bölelim. Bu çokgenin bir kenarı a birim olsun. Göreceğiniz üzere, n tane ikizkenar üçgen çıkacak karşımıza ve bu ikizkenar üçgenlerin her birinin tepe açısı $2\pi /n$ olacak. Bu ikizkenar üçgenlerin yüksekliklerini çizersek oluşan dik üçgenlerin tepe açıları1 $\pi /n$ olur. Bütün bunları yandaki şekilde görüyorsunuz2.

Şimdi, bu dik üçgenlerden birini, mesela AOB üçgenini ele alalım. Burada çokgenin kenarı olan a'yı, r ve tepe açısı cinsinden yazmak bize kolaylık sağlar. Bunu yapmanın tek yolu da, bu üçgenin tepe açısının sinüs değerine bakmak. O halde $\sin (\dfrac{\pi}{n})=\dfrac{\frac{a}{2}}{r}$ yazabiliriz. Buradan a'yı çekersek $a=2r.\sin (\dfrac{\pi}{n})$ buluruz.

Artık pi'ye ulaşmamıza bir adım kaldı. Çokgenin çevresi $n.a$'dır. Çokgenin kenar sayısı arttıkça, çokgen çembere benzer. Bu yüzden çokgenin çevresinde a'nın değerini yazıp limitini alacağız. Şunu yazarız: $Ç=n.a \Rightarrow Ç=n.2r.\sin (\dfrac{\pi}{n})$ ve buradan limit alırsak $$Ç=\lim_{x\to\infty} n.2r.\sin (\dfrac{\pi}{n})=2\pi.r$$ bulunur.

Ve mutlu son: $Ç=2\pi.r$ olduğundan buradan pi'yi çekersek $\pi=\dfrac{Ç}{2r}$ bulunur.

Alın size pi'nin tanımı.

Yukarıdaki limiti nasıl hesapladık? Şöyle:

Sinüs fonksiyonunun limitinde açıdaki ifade paydada bulununca limiti 1 oluyordu. Mesela $\lim_{x\to\infty} \dfrac{\sin x}{x}=1$ oluyordu. Bizim ifademizde açı olarak $\pi/n$ var. Paydada da bu ifade olursa limit değeri 1 olacak. Bunu oluşturmak için baştaki n'nin yanında $\dfrac{\pi}{\pi}$ olduğunu varsayar, buradan paydaya $\pi/n$'i getiririz. Bunları şöyle gösterelim:

$Ç=\lim_{x\to\infty} n.2r.\sin (\dfrac{\pi}{n})=\lim_{x\to\infty} n.\dfrac{\pi}{\pi}.2r.\sin (\dfrac{\pi}{n})=\lim_{x\to\infty} \pi.2r.\dfrac{\sin (\dfrac{\pi}{n})}{\frac{\pi}{n}}=\lim_{x\to\infty} 2\pi.r.\lim_{x\to\infty} \dfrac{\sin (\frac{\pi}{n})}{\frac{\pi}{n}}=2\pi.r$

Böylece hem çemberin çevresini hem de pi sayısını bulmuş olduk.

Notlar:


  1. Yanda verilen şekilde bu açılar m(AOB) ve m(BOC) olarak gösterilir. 

  2. İkizkenar üçgenin tabanı a br olsun demiştik. Buna göre ikizkenarın yüksekliği çizildiği zaman, bu yükseklik; aynı anda kenarortay olacağından, tabanı $a/2$ birim olarak ikiye böler.