Gürkan ve Kalemi

Tamamen Kişisel

Napolyon Teoremi ve İspatı


yazı kapak resmi

Adından anlayacağınız üzere Napolyon Bonapart'a atfedilen bir teorem bu. O kim ola diyenler, buraya bakabilirler. Teoreme göre; bir üçgen aldığımızda üçgenin her kenarı üzerinde bir dışa doğru bir eşkenar üçgen çizip bu üçgenlerin merkezlerini birleştirdiğimizde yeni bir eşkenar üçgen elde ederiz.

Etkileyici değil mi?

Eşkenar üçgenler ve Napolyon teoremi

İşin güzel tarafı bu bahsettiğimiz eşkenar üçgenleri içeriye doğru da çizebiliriz ve yine aynı şekilde, üçgenlerin merkezlerini birleştirdiğimizde de yine eşkenar üçgen elde ederiz. Bu eşkenar üçgenin merkezi, dışa doğru eşkenar üçgen çizimiyle oluşan eşkenar üçgenin merkeziyle aynıdır; iç ve dış eşkenar üçgenlerin alanları farkı, orijinal üçgenin alanına eşittir. Diğer yandan, bir eşkenar üçgenin kenarları üzerine biri içeri ve ikisi dışarı doğru eşkenar üçgenler çizilirse, bunların merkezleri, 30, 30 ve 120 derece olan bir üçgen oluşturur.

Napolyon teoremi ispatı

Teoremin İspatı

Buraya kadar anlattığımız teoremi ispatlayalım. Yukarıdaki şekle bakınız. Şekli biraz kötü çizdim, idare edin. Burada göstermek istediğimiz GIH üçgeninin eşkenar olduğu. Bunun için kosinüs teoreminden yararlanacağız.

Yukarıdaki şekle göre, GAI üçgeninde kosinüs teoremini uygularsak

$s^2= u^2 + t^2 - 2ut.\cos (x + 60) \, ............ (1)$

bulunur. Burada $t=\frac{2}{3}.c.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{c}{\sqrt{3}}$ ve benzer şekilde $u=\frac{2}{3}.b.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{b}{\sqrt{3}}$ olduğunu, sanıyorum görebiliyorsunuz. Bu değerleri, yukarıdaki (1) numaralı eşitlikte yerlerine yazarsak ve düzenlersek şunu buluruz:

$3s^2= b^2 + c^2 - 2bc.\cos (x + 60) \, ............ (2)$

Burada trigonometrik toplam formülünü ve $\cos 60=\frac{1}{2}$ ve $\sin 60=\frac{\sqrt{3}}{2}$ olduğunu da hatırlayarak $\cos (x + 60)$ yerine

$\cos (x + 60)= \cos x. \frac{1}{2} - \sin x. \frac{\sqrt{3}}{2} \, ............ (3)$

yazabiliriz. Bunu (2) numaralı eşitlikte yerine yazarsak

$3s^2= b^2 + c^2 - 2bc.(\cos x. \frac{1}{2} - \sin x. \frac{\sqrt(3)}{2}) \, ............ (4)$

buluruz. Şimdi, ABC üçgeninde kosinüs teoremini uygularsak,

$a^2= b^2 + c^2 - 2bc.\cos x \, ............ (5)$

ve sinüs teoreminden

$2A(ABC)=bc.\sin x \, ............ (6)$

yazarız. Bu (5) ve (6) numaralı eşitlikleri, (4) numaralı eşitlikte yerlerine yazarsak

$3s^2=\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt{3}A(ABC) \, ............ (7)$

Bu son eşitlik, GIH üçgeninin eşkenar olduğunu söyler. Bunu da siz görün. Nasıl olduğunu sormayın, zira anlatması çok uzun.

Notlar:

Bu yazı David Wells'in "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry" adlı eserinden çevirilmiştir. Çeviri Selçuk Alsan'a aittir. İspat Gürkan Özsoy tarafından yazılmıştır.