Gürkan ve Kalemi

Tamamen Kişisel

Napolyon Üçgeni


yazı kapak resmi

Bu yazıda bir teoremden ziyade özel bir sorudan bahsedeceğiz.

Sorumuz şu: Herhangi bir ABC üçgeninin kenarlarına ARB, BPC ve CQA gibi üç tane üçgeni $m(\hat{R})+m(\hat{P})+m(\hat{Q})=180$ olacak şekilde yerleştirdiğimizde bu üçgenlerin çevrel çemberleri aynı noktada kesişirler mi?

Napolyon Üçgeni

Çözüm: Önce soruda istenen şekilde bulmak istediğimiz şeyi gösteren bir çizimi yaparak işe başlayalım. Bu şekli yanda görüyoruz. Amacımız bu üç çemberin O noktasında kesiştiğini göstermek.

ARB ile CQA üçgenlerin çevrel çemberlerinin kesiştikleri nokta O noktası olsun. Burada AORB kirişler dörtgeni olduğundan $m(\hat{AOB})=180-R$ olur. Benzer şekilde, AOQC kirişler dörtgeni olduğundan $m(\hat{CQA})=180-Q$ olur. Böylece $m(\hat{BOC})=m(\hat{Q})+m(\hat{R})$ bulunur. $m(\hat{R})+m(\hat{P})+m(\hat{Q})=180$ idi. Bundan $m(\hat{Q})+m(\hat{R})=180-m(\hat{P})$ elde edilir.

Öyleyse BOCP de kirişler dörtgenidir ve buradan BPC üçgeninin çevrel çemberinin de O noktasından geçtiği sonucu elde edilir.